Lời giải:Phân tích:
Gọi
,
,…,
là các đỉnh của đa giác đều
đỉnh.
Gọi
là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều
.
Các đỉnh của đa giác đều chia
thành
cung tròn bằng nhau, mỗi cung tròn có số đo bằng
.
Vì tam giác cần đếm có đỉnh là đỉnh của đa giác nên các góc của tam giác là các góc nội tiếp của
.
Suy ra góc lớn hơn
sẽ chắn cung có số đo lớn hơn
.
Cố định một đỉnh
. Có
cách chọn
.
Gọi
,
,
là các đỉnh sắp thứ tự theo chiều kim đồng hồ sao cho
thì
và tam giác
là tam giác cần đếm.
Khi đó
là hợp liên tiếp của nhiều nhất
cung tròn nói trên.
cung tròn này có
đỉnh. Trừ đi đỉnh
thì còn
đỉnh. Do đó có
cách chọn hai đỉnh
,
.
Vậy có tất cả
tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Phân tích sai lầm khi giải bài tập này:
Giả sử
thì cung
(không chứa điểm
) sẽ có số đo lớn hơn
.
Tức là cung
(không chứa điểm
) sẽ là hợp liên tiếp của ít nhất
cung tròn bằng nhau nói trên.
Từ đó ta có cách dựng tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán như sau:
+ Bước 1: Đánh dấu một cung tròn là hợp liên tiếp của
cung tròn bằng nhau nói trên. Có 2018 cách đánh dấu.
+ Bước 2: Trong
điểm không thuộc cung tròn ở bước 1 (bao gồm cả hai điểm đầu mút của cung), chọn ra
điểm bất kì, có
cách chọn,
điểm này sẽ tạo thành tam giác có một góc lớn hơn
.
Vậy có tất cả
tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy đáp án đúng là D.
