Cho dãy số $(u_{n})$ thỏa mãn: $u_{1} = 1$ ; $u_{n + 1} = \sqrt{\frac{2}{3} u_{n}^{2} + a}, \forall n \in ℕ^{*}$ . Biết rằng $\lim (u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + . . . + u_{n}^{2} - 2 n) = b$ . Giá trị của biểu thức $T = a b$ là

- 2

- 1

1

2

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Ta có

\forall n \in ℕ^{*},

u_{n + 1} = \sqrt{\frac{2}{3} u_{n}^{2} + a} \Rightarrow u_{n + 1}^{2} - 3 a = \frac{2}{3} (u_{n}^{2} - 3 a)

.
Đặt

v_{n} = u_{n}^{2} - 3 a

thì

(v_{n})

là cấp số nhân với

v_{1} = 1 - 3 a

và công bội

q = \frac{2}{3}

.
Do đó

v_{n} = {(\frac{2}{3})}^{n - 1} (1 - 3 a) \Rightarrow u_{n}^{2} = v_{n} + 3 a = {(\frac{2}{3})}^{n - 1} (1 - 3 a) + 3 a

.
Suy ra

u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + . . . + u_{n}^{2} - 2 n = (1 - 3 a) \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{n}}{1 - \frac{2}{3}} - 2 n + 3 n a = 3 (1 - 3 a) (1 - {(\frac{2}{3})}^{n}) - n (3 a - 2)

.
Vì

\lim (u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + . . . + u_{n}^{2} - 2 n) = b

nên

\lim (3 (1 - 3 a) (1 - {(\frac{2}{3})}^{n}) - n (3 a - 2)) = b \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 a - 2 = 0 \\ b = 3 (1 - 3 a) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{2}{3} \\ b = - 3 \end{cases}

,
suy ra

T = a b = - 2

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi