Cho dãy số xác định bởi $u_{1} = 1$ , $u_{n + 1} = \frac{1}{3} (2 u_{n} + \frac{n - 1}{n^{2} + 3 n + 2}); n \in ℕ^{*}$ . Khi đó $u_{2018}$ bằng:

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

u_{2018} = \frac{2^{2017}}{3^{2018}} + \frac{1}{2019}

u_{2018} = \frac{2^{2018}}{3^{2017}} + \frac{1}{2019}

u_{2018} = \frac{2^{2017}}{3^{2018}} + \frac{1}{2019}

u_{2018} = \frac{2^{2016}}{3^{2017}} + \frac{1}{2019}

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Ta có:

u_{n + 1} = \frac{1}{3} (2 u_{n} + \frac{n - 1}{n^{2} + 3 n + 2})

= \frac{1}{3} (2 u_{n} + \frac{3}{n + 2} - \frac{2}{n + 1})

= \frac{2}{3} u_{n} + \frac{1}{n + 2} - \frac{2}{3} . \frac{1}{n + 1}

\Leftrightarrow u_{n + 1} - \frac{1}{n + 2} = \frac{2}{3} (u_{n} - \frac{1}{n + 1})

(1)

Đặt

v_{n} = u_{n} - \frac{1}{n + 1}

, từ

(1)

ta suy ra:

v_{n + 1} = \frac{2}{3} v_{n}

.
Do đó

(v_{n})

là cấp số nhân với

v_{1} = u_{1} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

, công bội

q = \frac{2}{3}

.
Suy ra:

v_{n} = v_{1} . q^{n - 1} = \frac{1}{2} . {(\frac{2}{3})}^{n - 1}

\Leftrightarrow u_{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{2} . {(\frac{2}{3})}^{n - 1}

\Leftrightarrow u_{n} = \frac{1}{2} . {(\frac{2}{3})}^{n - 1} + \frac{1}{n + 1}

.
Vậy

u_{2018} = \frac{1}{2} . {(\frac{2}{3})}^{2017} + \frac{1}{2019}

= \frac{2^{2016}}{3^{2017}} + \frac{1}{2019}

Vậy đáp án đúng là D.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi