Lời giải:
Gọi I là giao điểm các tia phân giác của \(\widehat {xPQ};{\mkern 1mu} \widehat {yQP}\) và A, B, C lần lượt là hình chiếu của I lên Ox, PQ và Oy.
Vì I thuộc phân giác của góc xPQ nên IA = IB.
Xét ∆PAI và ∆PBI có :
+ IA = IB (cmt)
+ Chung PI
+ \( \widehat {PAI} = \widehat {PBI} = {90^ \circ }\)
nên ∆PAI = ∆PBI (cạnh huyền – cạnh góc vuông) ,
Suy ra PA = PB.
Lí luận tương tự, ta có QB=QC.
\(OA+OC=OP+PA+OQ+QC =OP+PB+OQ+QB=OP+PQ+QO=2a\) (do chu vi ∆OPQ bằng 2a).
Vì IA = IB và IB = IC (cmt) nên IA = IC.
Xét ∆OAI và ∆OCI có
+ IA = IC (cmt)
+ \( \widehat {OAI} = \widehat {OCI} = {90^ \circ }\)
+ cạnh chung OI
nên ∆OAI = ∆OCI (cạnh huyền – cạnh góc vuông) \( \Rightarrow OA = OC = \frac{{2a}}{2} = a.\)
Vì a không đổi và A, C thuộc tia Ox, Oy cố định nên A và C cố định.
Do A và C lần lượt là hình chiếu của I lên Ox, Oy nên hai đường thẳng AI và CI cố định hay I cố định.
Do I và A cố định nên độ dài đoạn thẳng AI không đổi.
Do IA = IB (cmt) nên IB là bán kính của đường tròn (I ; IA), mà IB ⊥ PQ tại B nên PQ tiếp xúc với đường tròn (I; IA) cố định.
