Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) thỏa mãn \({f}'\left( x \right)=\frac{x+1}{{{x}^{2}}}, f\left( -2 \right)=\frac{3}{2}\) và \(f\left( 2 \right)=2\ln 2-\frac{3}{2}\). Giá trị của biểu thức \(f\left( -1 \right)+f\left( 4 \right)\) bằng

A.A. \(\frac{{6\ln 2 - 3}}{4}\)
B.B. \(\frac{{6\ln 2 + 3}}{4}\)
C.C. \(\frac{{8\ln 2 + 3}}{4}\)
D.D. \(\frac{{8\ln 2 - 3}}{4}\)
Đáp án và lời giải
Đáp án:C
Lời giải:

Có \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\frac{{x + 1}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x = \ln \left| x \right| - \frac{1}{x} + C} } \)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \ln \left( { - x} \right) - \frac{1}{x} + {C_1}\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x < 0\\ \;\ln x - \frac{1}{x} + {C_2}\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x > 0\; \end{array} \right.\)

Do \(f\left( { - 2} \right) = \frac{3}{2} \Rightarrow \ln 2 + \frac{1}{2} + {C_1} = \frac{3}{2} \Rightarrow {C_1} = 1 - \ln 2\).

Do \(f\left( 2 \right) = 2\ln 2 - \frac{3}{2} \Rightarrow \ln 2 - \frac{1}{2} + {C_2} = 2\ln 2 - \frac{3}{2} \Rightarrow {C_2} = \ln 2 - 1\)

Như vậy, \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \ln \left( { - x} \right) - \frac{1}{x} + 1 - \ln 2\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x < 0\\ \;\ln x - \frac{1}{x} + \ln 2 - 1\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x > 0\; \end{array} \right.\)

Vậy \(f\left( { - 1} \right) + f\left( 4 \right) = \left( {2 - \ln 2} \right) + \left( {\ln 4 - \frac{1}{4} + \ln 2 - 1} \right) = \frac{{8\ln 2 + 3}}{4}\).

Bạn có muốn?

Xem thêm các đề thi trắc nghiệm khác

Chia sẻ

Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.