Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm liên tục trên $ℝ$ và thỏa mãn $\int_{0}^{1} f (x) d x = 1$ , $f (1) = \cot 1$ .
Tính tích phân $I = \int_{0}^{1} (f (x) \tan^{2} x + f^{'} (x) \tan x) d x$ .

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

1 - \ln (\cos 1)

0

- 1

1 - \cot 1

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B
CÁCH 1:
Xét tích phân

I = \int_{0}^{1} (f (x) \tan^{2} x + f^{'} (x) \tan x) d x = \int_{0}^{1} f (x) \tan^{2} x d x + \int_{0}^{1} f^{'} (x) \tan x d x = I_{1} + I_{2}

.
Tính

I_{2} = \int_{0}^{1} f^{'} (x) \tan x d x

.
Đặt

\{\begin{cases} u = \tan x \\ d v = f^{'} (x) d x \end{cases} \Rightarrow d u = (1 + \tan^{2} x) d x

, chọn

v = f (x)

.
Khi đó

I_{2} = \int_{0}^{1} f^{'} (x) \tan x d x = {f (x) . \tan x|}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} f (x) (1 + \tan^{2} x) d x .

\begin{array}{l} \Rightarrow I_{2} = f (1) . \tan 1 - \int_{0}^{1} f (x) d x - \int_{0}^{1} f (x) \tan^{2} x d x . \\ \Rightarrow I_{2} = \cot 1. \tan 1 - 1 - \int_{0}^{1} f (x) \tan^{2} x d x = - \int_{0}^{1} f (x) \tan^{2} x d x = - I_{1} . \\ \Rightarrow I_{1} + I_{2} = 0 \Rightarrow I = 0. \end{array}

CÁCH 2:
Ta có

\begin{array}{l} I = \int_{0}^{1} (f (x) \tan^{2} x + f^{'} (x) \tan x) d x \\ = \int_{0}^{1} (f (x) (\frac{1}{\cos^{2} x} - 1) + f^{'} (x) \tan x) d x . \\ = \int_{0}^{1} (f (x) \frac{1}{\cos^{2} x} + f^{'} (x) \tan x) d x - \int_{0}^{1} f (x) d x . \\ = \int_{0}^{1} {(f (x) \tan x)}^{'} d x - \int_{0}^{1} f (x) d x . \\ = {(f (x) \tan x)|}_{0}^{1} - 1 = \cot 1. \tan 1 - 1 = 0 \end{array}

Vậy đáp án đúng là B.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi