Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $(\frac{1}{2}; + \infty)$ . Biết $\ln (2 x + 1)$ là một nguyên hàm của hàm số $(x + 1) f (x)$ , họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f' (x) {(x + 1)}^{2}$ có dạng là

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

\frac{1}{2 x + 1} - 2 \ln |2 x + 1| + C

\frac{1}{2 x + 1} + 2 \ln |2 x + 1| + C

\frac{1}{x + 1} - \ln |x + 1| + C

\frac{1}{x + 1} + \ln |x + 1| + C

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Suy ra

(x + 1) f (x) = {[\ln (2 x + 1)]}^{'}

\Leftrightarrow (x + 1) f (x) = \frac{2}{2 x + 1} \Rightarrow f (x) = \frac{2}{(x + 1) (2 x + 1)}

Xét nguyên hàm

I = \int f' (x) {(x + 1)}^{2} d x

.
Đặt

\{\begin{cases} u = {(x + 1)}^{2} \\ d v = f^{'} (x) d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = 2 (x + 1) d x \\ v = f (x) \end{cases}

Ta có

I = {(x + 1)}^{2} f (x) - \int 2 (x + 1) f (x) d x

I = {(x + 1)}^{2} . \frac{2}{(x + 1) (2 x + 1)} - \int 2 (x + 1) . \frac{2}{(x + 1) (2 x + 1)} d x = \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1} - 4 \int \frac{1}{2 x + 1} d x

Suy ra

I = \frac{2 x + 1}{2 x + 1} + \frac{1}{2 x + 1} - \frac{4}{2} \ln |2 x + 1| + C = 1 + \frac{1}{2 x + 1} - 2 \ln |2 x + 1| + C

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi