Cho hàm số $y = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{7}{2} x^{2}$ có đồ thị $(C)$ . Có bao nhiêu điểm $A$ thuộc $(C)$ sao cho tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M (x_{1}; y_{1}); N (x_{2}; y_{2})$ khác $A$ thỏa mãn $y_{1} - y_{2} = 6 (x_{1} - x_{2})$

1

2

0

3

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải: Lời giải
Chọn B
Ta có

A \in (C) \Rightarrow A (t; \frac{1}{4} t^{4} - \frac{7}{2} t^{2})

y^{'} = x^{3} - 7 x

\Rightarrow y^{'} (t) = t^{3} - 7 t

Phương trình tiếp tuyến của

(C)

tại

A

là

y = (t^{3} - 7 t) (x - t) + \frac{1}{4} t^{4} - \frac{7}{2} t^{2}

\Leftrightarrow y = (t^{3} - 7 t) x - \frac{3}{4} t^{4} + \frac{7}{2} t^{2}

Phương trình hoành độ giao điểm:

\frac{1}{4} x^{4} - \frac{7}{2} x^{2} = (t^{3} - 7 t) x - \frac{3}{4} t^{4} + \frac{7}{2} t^{2}

\Leftrightarrow x^{4} - 14 x^{2} - 4 (t^{3} - 7 t) x + 3 t^{4} - 14 t^{2} = 0

\Leftrightarrow {(x - t)}^{2} (x^{2} + 2 t x + 3 t^{2} - 14) = 0

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = t \\ x^{2} + 2 t x + 3 t^{2} - 14 = 0 (1) \end{array}

Tiếp tuyến cắt đồ thị

(C)

tại hai điểm phân biệt

M (x_{1}; y_{1}); N (x_{2}; y_{2})

khác

A

khi phương trình

(1)

có hai nghiệm phân biệt khác

t

Khi dó

\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - 2 t \\ x_{1} x_{2} = 3 t^{2} - 14 \end{cases}

và

\{\begin{cases} y_{1} = (t^{3} - 7 t) x_{1} - \frac{3}{4} t^{4} + \frac{7}{2} t^{2} \\ y_{2} = (t^{3} - 7 t) x_{2} - \frac{3}{4} t^{4} + \frac{7}{2} t^{2} \end{cases}

\Rightarrow y_{1} - y_{2} = (t^{3} - 7 t) (x_{1} - x_{2})

Ta có

y_{1} - y_{2} = 6 (x_{1} - x_{2})

\Leftrightarrow (t^{3} - 7 t) (x_{1} - x_{2}) = 6 (x_{1} - x_{2})

 Với

t = - 1

ta có

A (- 1; - \frac{13}{4})

 Với

t = - 2

ta có

A (- 2; - 10)

\Rightarrow

có hai điểm thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy đáp án đúng là B.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi