Cho hàm số $y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{m}{2} x^{2} - m^{2} x + 2$ . Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị $A$ , $B$ sao cho ba điểm $O$ , $A$ , $B$ thẳng hàng, trong đó $O$ là gốc tọa độ.

m = 0

m = \sqrt{3}

m = \sqrt[3]{24}

m = \frac{\sqrt{2}}{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Tập xác định

D = ℝ

y^{'} = 2 x^{2} - m x - m^{2}

, hàm số có hai cực trị khi

y^{'} = 0

có hai nghiệm phân biệt

x_{1}

x_{2}

\Leftrightarrow Δ = 9 m^{2} > 0

\Leftrightarrow m \neq 0

. Khi đó

x_{1} = m

x_{2} = - \frac{m}{2}

\Rightarrow A (m; - \frac{5}{6} m^{3} + 2)

B (- \frac{m}{2}; \frac{7}{24} m^{3} + 2)

\vec{O A} = (m; - \frac{5}{6} m^{3} + 2)

\vec{O B} = (- \frac{m}{2}; \frac{7}{24} m^{3} + 2)

Ta có ba điểm

O

A

B

thẳng hàng khi

\vec{O A}

\vec{O B}

cùng phương

\Rightarrow \frac{m}{- \frac{m}{2}} = \frac{- \frac{5}{6} m^{3} + 2}{\frac{7}{24} m^{3} + 2}

\Leftrightarrow - 2 (\frac{7}{24} m^{3} + 2) = - \frac{5}{6} m^{3} + 2

\Leftrightarrow m^{3} = 24

\Leftrightarrow m = \sqrt[3]{24}

.
Cách khác: Có thể thực hiện phép chia đa thức

y

cho

y^{'}

để tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị:

d : y = - \frac{3}{4} m^{2} x - \frac{m^{3}}{12} + 2

, cho

O (0; 0)

thuộc

d

ta cũng được

\Leftrightarrow m = \sqrt[3]{24}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi