Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $[- 1; 3]$ và có đồ thị như hình vẽ.

Bất phương trình $f (x) + \sqrt{x + 1} + \sqrt{7 - x} \geq m$ có nghiệm thuộc $[- 1; 3]$ khi và chỉ khi

m \leq 7

m \geq 7

m \leq 2 \sqrt{2} - 2

m \geq 2 \sqrt{2} - 2

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Bất phương trình

f (x) + \sqrt{x + 1} + \sqrt{7 - x} \geq m

có nghiệm thuộc

[- 1; 3]

khi và chỉ khi

m \leq \underset{[1;3]}{Max} (f (x) + \sqrt{x + 1} + \sqrt{7 - x})

.
Xét hàm số

g (x) = \sqrt{x + 1} + \sqrt{7 - x}

trên đoạn

[- 1; 3]

.
Ta có

g^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2 \sqrt{7 - x}} = \frac{\sqrt{7 - x} - \sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{7 - x} . \sqrt{x + 1}}

g^{'} (x) = 0

\Leftrightarrow \sqrt{7 - x} - \sqrt{x + 1} = 0

\Leftrightarrow x = 3

g (- 1) = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}

g (3) = 2 + 2 = 4

.
Suy ra

\underset{[- 1; 3]}{Max} g (x) = 4

tại

x = 3

.
Mặt khác, dựa vào đồ thị của

f (x)

ta có

\underset{[- 1; 3]}{Max} f (x) = 3

tại

x = 3

.
Từ và suy ra

\underset{[1;3]}{Max} (f (x) + \sqrt{x + 1} + \sqrt{7 - x}) = 7

tại

x = 3

.
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm thuộc

[- 1; 3]

khi và chỉ khi

m \leq 7

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi