Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{2 x - 1},$ có đồ thị $(H) .$ Gọi $A (x_{1}; y_{1}), B (x_{2}; y_{2})$ là hai điểm phân biệt thuộc $(H)$ sao cho tiếp tuyến của $(H)$ tại $A, B$ song song với nhau. Tính độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng $A B .$

A B_{\min} = 3 \sqrt{2} .

A B_{\min} = \sqrt{3} .

A B_{\min} = \sqrt{6} .

A B_{\min} = 2 \sqrt{6} .

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Ta có

y^{'} = - \frac{3}{{(2 x - 1)}^{2}} .

Hệ số góc của tiếp tuyến tại

A

là

k_{1} = y^{'} (x_{1}) = - \frac{3}{{(2 x_{1} - 1)}^{2}} .

Hệ số góc của tiếp tuyến tại

B

là

k_{2} = y^{'} (x_{2}) = - \frac{3}{{(2 x_{2} - 1)}^{2}} .

Theo giả thiết ta có

k_{1} = k_{2} \Leftrightarrow {(2 x_{1} - 1)}^{2} = {(2 x_{2} - 1)}^{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x_{1} - 1 = 2 x_{2} - 1 \\ 2 x_{1} - 1 = - (2 x_{2} - 1) \end{array} \Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = 1.

Ta có

A B^{2} = {(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} = {(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(\frac{3}{4 x_{2} - 2} - \frac{3}{4 x_{1} - 2})}^{2} .

Mà

x_{2} = 1 - x_{1}

suy ra

A B^{2} = {(2 x_{1} - 1)}^{2} + \frac{9}{{(2 x_{1} - 1)}^{2}} \underset{A M - G M}{\underset{︸}{\geq}} 2 \sqrt{{(2 x_{1} - 1)}^{2} . \frac{9}{{(2 x_{1} - 1)}^{2}}} = 6.

Dấu

" = "

xảy ra

\Leftrightarrow

{(2 x_{1} - 1)}^{4} = 9 \Leftrightarrow x_{1} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2} .

Vậy

A B_{\min} = \sqrt{6} .

Chọn C

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi