Cho hình bát diện đều có cạnh $a$ và điểm $I$ nằm trong hình bát diện. Tính tổng khoảng cách từ điểm $I$ đến tất cả các mặt của bát diện.

\frac{4 a \sqrt{6}}{3}

\frac{3 a \sqrt{2}}{2}

\frac{4 a \sqrt{3}}{3}

\frac{a \sqrt{3}}{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Hình bát diện đều có thể tích bằng thể tích của hai hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, ở đây các cạnh đều bằng

a

. Gọi

V

là thể tích khối bát diện đều.
Ta có:

S_{A B C D} = a^{2}

S_{S A B} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

A C = a \sqrt{2} \Rightarrow S O = \sqrt{S A^{2} - A O^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}

\Rightarrow V = 2 V_{S . A B C D} = 2. \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{2}}{2} . a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}

.
Do đó tổng khoảng cách từ điểm

I

đến tất cả các mặt của tứ diện bằng:

\sum d = d_{1} + d_{2} + d_{3} + . . . . + d_{8}

= \frac{3 V_{I . S A B}}{S_{S A B}} + \frac{3 V_{I . S B C}}{S_{S B C}} + . . . + \frac{3 V_{I . S^{'} C D}}{S_{S C D}}

.
Mà

S_{S A B} = S_{S B C} = S_{S C D} = . . . . = S_{S^{'} C D}

;

V_{I . S A B} + V_{I . S C D} + . . . . + V_{I . S^{'} C D} = V

\Rightarrow \sum d = \frac{3 V}{S_{S A B}} = \frac{3. \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}}{\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}} = \frac{4 a \sqrt{6}}{3}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi