Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh $2 a$ . Gọi $M$ là trung điểm cạnh $S A$ , $\hat{S A B} = \hat{S C B} = 90 °$ , biết khoảng cách từ $A$ đến $(M B C)$ bằng $\frac{6 a}{\sqrt{21}}$ . Thể tích của khối chóp $S . A B C$ bằng

\frac{10 a^{3} \sqrt{3}}{9}

\frac{8 a^{3} \sqrt{39}}{3}

\frac{4 a^{3} \sqrt{13}}{3}

2 a^{3} \sqrt{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Vì

\hat{S A B} = \hat{S C B} = 90 °

\Rightarrow S, A, B, C

cùng thuộc mặt cầu đường kính

S B

.
Gọi

D

là trung điểm

B C

I

là trung điểm

S B

và

O

là tâm đường tròn ngoại tiếp

Δ A B C

, ta có

O I ⊥ (A B C)

.
Gọi

H

là điểm đối xứng với

B

qua

O

\Rightarrow S H ⊥ (A B C)

.
Gọi

B M \cap A I = J

, ta có

J

trọng tâm

Δ S A B

.
Trong

Δ A I D

, kẻ

J N // I O

. Khi đó, vì

B C ⊥ (J N D)

nên

(J N D) ⊥ (M B C)

.
Kẻ

N E ⊥ J D

, ta có

N E ⊥ (M B C)

. Do đó

d (N; (M B C)) = N E

.
Ta có

\frac{d (A, (M B C))}{d (N, (M B C))} = \frac{A D}{N D} = \frac{A D}{A D - A N}

= \frac{A D}{A D - \frac{2}{3} A O} = \frac{A D}{A D - \frac{4}{9} A D} = \frac{9}{5}

.
Suy ra,

d (N, (M B C)) = \frac{5}{9} d (A, (M B C)) = \frac{10 a}{3 \sqrt{21}}

.
Xét

Δ J N D

có

\frac{1}{N E^{2}} = \frac{1}{N D^{2}} + \frac{1}{N J^{2}}

nên

N J = \frac{10 a}{9}

\Rightarrow O I = \frac{3}{2} N J = \frac{5 a}{3}

\Rightarrow S H = \frac{10 a}{3}

.
Vậy

V_{S A B C} = \frac{1}{3} S H . S_{A B C} = \frac{1}{3} . \frac{10 a}{3} . \frac{{(2 a)}^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{10 \sqrt{3} a^{3}}{9}

.
----------HẾT----------

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi