Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy là tam giác đều $A B C$ có cạnh bằng $\sqrt{6}$ . Biết rằng các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng $3 \sqrt{2}$ . Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp $S . A B C$ .

2 \sqrt{3}

2 \sqrt{2}

3

4

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C

Gọi

M

N

P

lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm

S

trên các cạnh

B C

C A

A B

. Và

H

là hình chiếu vuông góc của

S

trên

(A B C)

A H = \frac{2}{3} A M = \frac{2}{3} . \frac{\sqrt{6} . \sqrt{3}}{2} = \sqrt{2}

.
Không mất tính tổng quát, giả sử

S A = 3 \sqrt{2}

Δ S A H

vuông tại

H

có

S H = \sqrt{S A^{2} - A H^{2}} = 4

.
Vậy

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S H . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} . 4. \frac{{(\sqrt{6})}^{2} \sqrt{3}}{4} = 2 \sqrt{3}

Trường hợp

H

nằm ngoài

Δ A B C

S_{Δ S A B} = S_{Δ S B C} = S_{Δ S A C}

nên

d (H, B C) = d (H, A C) = d (H, A B)

do đó

H

là tâm đường tròn bàng tiếp

Δ A B C

mà

Δ A B C

đều nên giả sử

H

thuộc đường tròn bàng tiếp đỉnh

A

. Khi đó

A B H C

là hình thoi tâm

O

. Ta có

H A = 2 O A = 3 \sqrt{2}

nên suy ra

S B = S C = 2 \sqrt{3}

.
Do đó

S H = \sqrt{S B^{2} - B H^{2}} = 2 \sqrt{3}

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S_{Δ A B C} . S H = \frac{1}{3} . \frac{{(\sqrt{6})}^{2} \sqrt{3}}{4} . 2 \sqrt{3} = 3

.
Vây

V_{\min} = \min \{2 \sqrt{3}, 3\} = 3

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi