Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình thang cân với đáy $A B = 2 a$ , $A D = B C = C D = a$ , mặt bên $S A B$ là tam giác cân đỉnh $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ . Biết khoảng cách từ $A$ tới mặt phẳng $(S B C)$ bằng $\frac{2 a \sqrt{15}}{5}$ , tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S . A B C D$ .

V = \frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{4}

V = \frac{3 a^{3}}{4}

V = \frac{3 a^{3} \sqrt{5}}{4}

V = \frac{3 a^{3} \sqrt{2}}{8}

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B

Kéo dài

A D

và

B C

cắt nhau tại

E

.
Vì hình thang

A B C D

có

C D = \frac{1}{2} A B

nên

Δ A B E

là tam giác đều cạnh

2 a

,
Suy ra đường cao trong tam giác đều là

A C = a \sqrt{3}

.
Từ

H

kẻ

H F / / A C

\Rightarrow H F = \frac{1}{2} A C = \frac{a \sqrt{3}}{2}

.
Ta có

\{\begin{cases} H F ⊥ B C \\ S H ⊥ B C \end{cases}

\Rightarrow (H F S) ⊥ B C \Rightarrow (H F S) ⊥ (S B C)

.
Khoảng cách từ

H

tới

(S B C)

chính là

H K

Măt khác

d (A, (S B C)) = 2 d (H, (S B C)) = \frac{2 a \sqrt{15}}{5}

, suy ra

H K = \frac{a \sqrt{15}}{5}

.
Trong vuông

Δ S H F

có

\frac{1}{H K^{2}} = \frac{1}{H S^{2}} + \frac{1}{H F^{2}}

\Leftrightarrow \frac{25}{15 a^{2}} = \frac{1}{H S^{2}} + \frac{4}{{(a \sqrt{3})}^{2}}

suy ra

S H = a \sqrt{3}

S_{A B C D} = S_{Δ E A B} - S_{Δ E D C} = \frac{\sqrt{3}}{4} {(2 a)}^{2} - \frac{\sqrt{3}}{4} {(a)}^{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{4} a^{2}

\Rightarrow V = \frac{1}{3} . S H . S_{A B C D} = \frac{3 a^{3}}{4}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học