Cho hình chóp $S . A B C D$ đều, có cạnh bên bằng 1. Thể tích lớn nhất của khối chóp $S . A B C D$ bằng

\frac{4}{27}

\frac{1}{6}

\frac{4 \sqrt{3}}{27}

\frac{\sqrt{3}}{12}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Gọi

H

là giao điểm của

A C

B D

.
Khi đó

S H

là chiều cao của khối chóp

S . A B C D

. Đặt

S H = x > 0

Xét tam giác

S H B

vuông tại

H

ta có

H B = \sqrt{1 - x^{2}} \Rightarrow 0 < x < 1

.
Xét tam giác

B C D

vuông tại

C

ta có:

B C^{2} + C D^{2} = B D^{2} \Rightarrow 2. B C^{2} = {(2 \sqrt{1 - x^{2}})}^{2}

\Rightarrow B C^{2} = 2 (1 - x^{2})

.
Diện tích hình vuông

A B C D

là

S_{A B C D} = B C^{2} = 2 (1 - x^{2})

.
Thể tích khối chóp

S . A B C D

là .
Xét hàm số

f (x) = \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} x^{3}

, với

x \in (0; 1)

ta có:

f^{'} (x) = \frac{2}{3} - 2 x^{2}

. Có

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow \frac{2}{3} - 2 x^{2} = 0 \Leftrightarrow x^{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{1}{\sqrt{3}}

.
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

\max_{(0; 1)} f (x) = f (\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{4 \sqrt{3}}{27}

.
Vậy khối chóp

S . A B C D

có thể tích lớn nhất bằng

\frac{4 \sqrt{3}}{27}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học