Cho hình lăng trụ $A B C . A' B' C'$ có đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh $a$ , $AA' = \frac{3 a}{2}$ . Biết rằng hình chiếu vuông góc của $A'$ lên $(A B C)$ là trung điểm $B C$ . Thể tích của khối lăng trụ $A B C . A' B' C'$ là

\frac{a^{3} . \sqrt{2}}{8}

\frac{3 a^{3} . \sqrt{2}}{8}

\frac{a^{3} . \sqrt{6}}{2}

\frac{2 a^{3}}{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B

Gọi

H

là trung điểm

B C

, vì tam giác

A B C

đều nên ta có

A H = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow S_{Δ A B C} = \frac{a^{2} . \sqrt{3}}{4}

.
Theo đề:

A' H ⊥ (A B C) \Rightarrow A' H ⊥ A H

. Trong tam giác vuông

A' A H

có

A' H = \sqrt{A' A^{2} - A H^{2}} = \sqrt{\frac{9 a^{2}}{4} - \frac{3 a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{2}}

.
Suy ra

V_{A B C . A' B' C'} = B . h = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . \frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3 a^{3} . \sqrt{2}}{8}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi