Cho hình lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy là tam giác đều cạnh $m \in [- 5; 2)$ . Hình chiếu vuông góc của điểm $A^{'}$ lên mặt phẳng $(A B C)$ trùng với trọng tâm tam giác $A B C$ . Biết khoảng cách giữa hai đường $A A^{'}$ và $B C$ bằng $\frac{a \sqrt{3}}{4}$ . Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ .

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24}

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D

Gọi

H

là hình chiếu vuông góc của

A^{'}

lên mp

(A B C)

và

I

là trung điểm

B C .

Ta có

B C ⊥ A A^{'}

.
Gọi

K

là hình chiếu vuông góc của

I

lên

A A^{'}

. Khi đó

I K

là đoạn vuông góc chung của

A A^{'}

và

B C

.
Mặt khác

d (A A^{'}, B C) = I K = \frac{a \sqrt{3}}{4}

.
Tam giác

A B C

đều cạnh

m \in [- 5; 2)

\Rightarrow A I = \frac{a \sqrt{3}}{2}; A H = \frac{2}{3} A I = \frac{a \sqrt{3}}{3}; S_{Δ A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

.
Tam giác

A I K

vuông tại

K

có

\sin \hat{K A I} = \frac{I K}{A I} = \frac{1}{2} \Rightarrow \hat{K A I} = 30 °

.
Xét tam giác vuông

A A^{'} H

vuông tại

H

có

A^{'} H = A H . tan30 ° = \frac{a \sqrt{3}}{3} . \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{a}{3}

V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{Δ A B C} . A^{'} H = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . \frac{a}{3} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi