Cho hình lập phương, mỗi cặp đỉnh của nó xác định một đường thẳng. Trong các đường thẳng đó, tìm số các cặp đường thẳng (không tính thứ tự) không đồng phẳng và không vuông góc với nhau.
96.
192.
108.
132
Phân tích: Cách 1: Số đường thẳng . Ta chia ra làm ba loại gồm: cạnh, đường chéo phụ và đường chéo chính. + Chọn cạnh có 12 cách, với mỗi cạnh có đúng đường chéo chính, và đường chéo phụ thoả mãn yêu cầu bài toán. Nên có cặp. + Nhận thấy một đường chéo chính và một đường chéo phụ không thỏa mãn yêu cầu. + Xét đường chéo phụ, với mỗi đường chéo phụ có đúng đường chéo phụ khác thỏa mãn yêu cầu bài toán. Nhưng bị lặp hai lần do đổi vai trò nên có cặp. Vậy có tất cả cặp đường thẳng thoả mãn bài toán. Cách 2: Số đường thẳng . Số cặp đường thẳng . + Số cặp đường thẳng đồng phẳng: - Trong mặt phẳng gồm 4 điểm đồng phẳng: (cặp). - Trong mặt phẳng gồm 3 điểm: (cặp). + Số cặp đường thẳng vuông góc không đồng phẳng: - Hai cạnh vuông góc: (cặp). - Cạnh vuông góc đường chéo mặt: (cặp). - Hai đường chéo của hai mặt vuông góc: . - Đường chéo vuông góc với đường chéo mặt: . Vậy số các cặp đường thẳng (không tính thứ tự) không đồng phẳng và không vuông góc với nhau là: (cặp). Cách 3: Hình lập phương có đoạn gồm cạnh, đường chéo phụ và đường chéo chính. + Trường hợp 1: Cặp chứa một cạnh. Ví dụ cặp chứa gồm cặp với cạnh hoặc đường chéo phụ và hai cặp với đường chéo chính . Do đó cạnh sẽ có cặp với cạnh hoặc đường chéo phụ và cặp với đường chéo chính. + Trường hợp 2: Cặp chứa một đường chéo phụ. Ví dụ cặp chứa gồm cặp: ; ; ; ; ; ; ; . Do đó cạnh có cặp. Nhưng mỗi cặp chứa hai cạnh hoặc cạnh với đường chéo phụ được tính hai lần nên số cặp đường thỏa mãn yêu cầu bài toán: cặp.
Đáp án đúng là A