Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi parabol $y = a x^{2} + 1$ , $(a > 0)$ , trục tung, trục hoành và đường thẳng $x = 1$ . Quay $(H)$ quanh trục $O x$ được một khối tròn xoay có thể tích bằng $\frac{28}{15} π$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

0 < a < 2

5 < a < 8

3 < a < 5

2 < a < 3

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Gọi

V

là thể tích khối tròn xoay có được bằng cách quay hình phẳng

(H)

quanh

O x

\Rightarrow V = π \int_{0}^{1} {(a x^{2} + 1)}^{2} d x = π \int_{0}^{1} (a^{2} x^{4} + 2 a x^{2} + 1) d x = π (\frac{a^{2} x^{5}}{5} + \frac{2 a x^{3}}{3} + x) |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} = π (\frac{a^{2}}{5} + \frac{2 a}{3} + 1)

.
Theo giả thiết

V = \frac{28}{15} π \Rightarrow π (\frac{a^{2}}{5} + \frac{2 a}{3} + 1) = \frac{28}{15} π \Leftrightarrow \frac{a^{2}}{5} + \frac{2 a}{3} + 1 = \frac{28}{15}

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 1 \\ a = - \frac{13}{3} \end{array}

\Rightarrow a = 1 (do a > 0)

.
Vậy

0 < a < 2

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi