Cho hình tứ diện đều $A B C D$ có tất cả các cạnh bằng $1$ . Gọi $I$ là trung điểm của $C D$ . Trên tia $A I$ lấy điểm $S$ sao cho $\vec{A I} = 2 \vec{I S}$ . Thể tích của khối đa diện $A B C D S$ bằng

\frac{3}{12}

\frac{\sqrt{2}}{12}

\frac{\sqrt{2}}{24}

\frac{3 \sqrt{2}}{24}

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải

Chọn D
Đặt

V_{A B C D} = V

. Gọi

H

là trọng tâm của tam giác đều

B C D

.
Ta có

V_{A B C D S} = V_{B . A C S D} = V_{B . A C D} + V_{B . C S D}

. Do

S_{C D S} = \frac{1}{2} S_{A C D}

nên

V_{B . C S D} = \frac{1}{2} V_{B . A C D} = \frac{1}{2} V

.
Suy ra

V_{A B C D S} = V + \frac{1}{2} V = \frac{3}{2} V

.
Mặt khác,

B H = \frac{2}{3} B I = \frac{2}{3} . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow A H^{2} = A B^{2} - B H^{2} = \frac{2}{3} \Rightarrow A H = \sqrt{\frac{2}{3}}

.
Như thế,

V = \frac{1}{3} \cdot A H . S_{B C D} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{12}

.
Vậy

V_{A B C D S} = \frac{3}{2} V = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{8} = \frac{3 \sqrt{2}}{24}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học