Cho hình vuông $A B C D$ cạnh $a$ . Gọi $N$ là điểm thuộc cạnh $A D$ sao cho $A N = 2 D N$ . Đường thẳng qua $N$ vuông góc với $B N$ cắt $B C$ tại $K$ . Thể tích $V$ của khối tròn xoay tạo thành khi quay tứ giác $A N K B$ quanh trục $B K$ là

V = \frac{7}{6} π a^{3}

V = \frac{9}{14} π a^{3}

V = \frac{6}{7} π a^{3}

V = \frac{14}{9} π a^{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Dựng đường thẳng qua

N

vuông góc với

B C

cắt

B C

tại

M

.
Lấy

A^{'}

đối xứng với

A

qua

B

N^{'}

đối xứng với

N

qua

M

.
Khối tròn xoay tạo thành khi quay tứ giác

A N K B

quanh trục

B K

gồm hai khối là khối
nón có đường cao là

M K

, bán kính đáy là

M N

và khối trụ có đường cao là

M B

, bán kính đáy là

M N

.
Ta có

A N = \frac{2 a}{3}

A B = a

.
Xét tam giác

A B N

vuông tại

A

N B = \sqrt{A N^{2} + A B^{2}} = \frac{a \sqrt{13}}{3} \cdot

Xét tam giác

B N K

vuông tại

N

\frac{1}{N K^{2}} = \frac{1}{M N^{2}} - \frac{1}{N B^{2}} = \frac{4}{13} \Rightarrow N K = \frac{a \sqrt{13}}{2} \cdot

B K = \sqrt{N K^{2} + B N^{2}} = \frac{13 a}{6} \cdot

Lại có

M B = A N = \frac{2 a}{3}

M K = B K - M B = \frac{3 a}{2} \cdot

V = V_{1} + V_{2} = \frac{1}{3} π . M N^{2} . M K + π . M N^{2} . M B = \frac{7 π a^{3}}{6} \cdot

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi