Cho khối chóp $S . A B C D$ có thể tích bằng 1, đáy $A B C D$ là hình thang với cạnh đáy lớn là $A D$ và $A D = 3 B C$ . Gọi $M$ là trung điểm cạnh $S A, N$ là điểm thuộc cạnh $C D$ sao cho $N D = 3 N C$ . Mặt phẳng $(B M N)$ cắt cạnh $S D$ tại $P$ . Thể tích khối chóp $A . M B N P$ bằng

\frac{3}{8}

\frac{5}{12}

\frac{5}{16}

\frac{9}{32}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Đặt

V = V_{S . A B C D} = 1.

Gọi

I

là giao điểm của

B N

với

A D

, suy ra

P

là giao điểm của

M I

với

S D .

B C ∥ D I

và

N D = 3 N C \Rightarrow D I = 3 B C \Rightarrow D

là trung điểm của

A I

.
Do đó

P

là trọng tâm của tam giác

S A I \Rightarrow \frac{S P}{S D} = \frac{2}{3}

S_{B C N} = \frac{1}{4} S_{B C D} = \frac{1}{4} . \frac{1}{4} S_{A B C D} = \frac{1}{16} S_{A B C D}

;

S_{A D N} = S_{N I D} = 9 S_{B C N} = \frac{9}{16} S_{A B C D}

S_{A B N} = S_{A B C D} - S_{B C N} - S_{A D N} = \frac{3}{8} S_{A B C D}

. Suy ra

V_{S . A B N} = \frac{3}{8} V; V_{S . A D N} = \frac{9}{16} V

V_{S . M B N} = \frac{1}{2} V_{S . A B N} \Rightarrow V_{A . B M N} = \frac{1}{2} V_{S . A B N} = \frac{3}{16} V;

V_{S . M N P} = \frac{1}{2} V_{S . A N P} \Rightarrow V_{A . M N P} = \frac{1}{2} V_{S . A N P} = \frac{1}{2} . \frac{2}{3} V_{S . A N D} = \frac{3}{16} V

.
Do đó

V_{A . M B N P} = V_{A . B M N} + V_{A . M N P} = \frac{3}{8} V = \frac{3}{8} .

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi