Lời giải:Giả sử \(A(a;\,{{a}^{2}}); B(b;\,{{b}^{2}})\,(b>a)\) sao cho AB=2018.
Phương trình đường thẳng d là: y=(a+b)x-ab. Khi đó
\(S=\int\limits_{a}^{b}{\left| (a+b)x-ab-{{x}^{2}} \right|\text{d}x}=\int\limits_{a}^{b}{\left( \left( a+b \right)x-ab-{{x}^{2}} \right)\text{d}x}=\frac{1}{6}{{\left( b-a \right)}^{3}}\).
Vì \(AB=2018\Leftrightarrow {{\left( b-a \right)}^{2}}+{{\left( {{b}^{2}}-{{a}^{2}} \right)}^{2}}={{2018}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( b-a \right)}^{2}}\left( 1+{{\left( b+a \right)}^{2}} \right)={{2018}^{2}}\).
\(\Rightarrow {{\left( b-a \right)}^{2}}\le {{2018}^{2}}\Rightarrow \left| b-a \right|=b-a\le 2018\Rightarrow S\le \frac{{{2018}^{3}}}{6}\).
Vậy \({{S}_{\max }}=\frac{{{2018}^{3}}}{6}\) khi a=-1009 và b=1009
