Cho phương trình $e^{3 m} + e^{m} = 2 (x + \sqrt{1 - x^{2}}) (1 + x \sqrt{1 - x^{2}})$ . Tìm tập hợp các giá trị của tham số $m$ để phương trình có nghiệm.

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

(0; \frac{1}{2} \ln 2)

[\frac{1}{2} \ln 2; + \infty)

(0; \frac{1}{e})

(- \infty; \frac{1}{2} \ln 2]

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Điều kiện:

x \in [- 1; 1]

Ta có

e^{3 m} + e^{m} = 2 (x + \sqrt{1 - x^{2}}) (1 + x \sqrt{1 - x^{2}}) = (x + \sqrt{1 - x^{2}}) (2 + 2 x \sqrt{1 - x^{2}})

= (x + \sqrt{1 - x^{2}}) [{(x + \sqrt{1 - x^{2}})}^{2} + 1] = {(x + \sqrt{1 - x^{2}})}^{3} + (x + \sqrt{1 - x^{2}})

(*)

.
Xét hàm

h (t) = t^{3} + t \to h^{'} (t) = 3 t^{2} + 1 > 0, \forall t \in ℝ

nên từ phương trình

(*)

ta được:

h (x + \sqrt{1 - x^{2}}) = h (e^{m}) \to x + \sqrt{1 - x^{2}} = e^{m}

(* *)

.
Xét

f (x) = x + \sqrt{1 - x^{2}}, x \in [- 1; 1]

ta có

f^{'} (x) = \frac{\sqrt{1 - x^{2}} - x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

;

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{\sqrt{2}} \in [- 1; 1]

.
Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình

(* *)

có nghiệm

\Leftrightarrow 0 < e^{m} \leq f (\frac{1}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2} \Leftrightarrow m \leq \ln \sqrt{2} = \frac{1}{2} \ln 2

.
HẾT

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi