Cho $x$ , $y$ thỏa mãn $\log_{\frac{1}{2}} x + \log_{\frac{1}{2}} y \leq \log_{\frac{1}{2}} (x^{2} + y)$ . Giá trị nhỏ nhất của $3 x + y$ bằng

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

15

4 + 2 \sqrt{3}

9

5 + 2 \sqrt{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
ĐK:

x, y > 0

.
Ta có:

\log_{\frac{1}{2}} x + \log_{\frac{1}{2}} y \leq \log_{\frac{1}{2}} (x^{2} + y)

\Leftrightarrow \log_{\frac{1}{2}} (x y) \leq \log_{\frac{1}{2}} (x^{2} + y)

\Leftrightarrow x y \geq x^{2} + y \Leftrightarrow (x - 1) y \geq x^{2}

(1)

.
Từ

(1) \Rightarrow x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1

. Do đó

(1) \Leftrightarrow y \geq \frac{x^{2}}{x - 1}

.
Khi đó

3 x + y \geq 3 x + \frac{x^{2}}{x - 1} = 4 x + 1 + \frac{1}{x - 1} = 4 (x - 1) + \frac{1}{x - 1} + 5

\geq 2 \sqrt{4 (x - 1) . \frac{1}{x - 1}} + 5 = 9, \forall x > 1

.
Dấu

" = "

xảy ra

\Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 1 \\ y > 0 \\ y = \frac{x^{2}}{x - 1} \\ 4 (x - 1) = \frac{1}{x - 1} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 1 \\ y > 0 \\ y = \frac{x^{2}}{x - 1} \\ x - 1 = \frac{1}{2} \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{3}{2} \\ y = \frac{9}{2} \end{cases}

.
Vậy giá trị nhỏ nhất của

3 x + y

bằng

9

khi

\{\begin{cases} x = \frac{3}{2} \\ y = \frac{9}{2} \end{cases}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi