Cho $x, y$ là các số thực dương thỏa mãn $2 + \log_{2} x = 3 + \log_{3} y = \log_{6} (72 x + 72 y)$ . Tính giá trị của biểu thức $P = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ .

3

\frac{1}{2}

\frac{3}{2}

\frac{4}{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Ta có:

\begin{array}{l} 2 + \log_{2} x = 3 + \log_{3} y = \log_{6} (72 x + 72 y) \\ \Leftrightarrow 2 + \log_{2} x = 2 + \log_{3} (3 y) = \log_{6} (2 x + 2 y) + 2 \\ \Leftrightarrow \log_{2} x = \log_{3} (3 y) = \log_{6} (2 x + 2 y) \end{array}

.
Đặt

\log_{2} x = \log_{3} (3 y) = \log_{6} (2 x + 2 y) = t

, suy ra

\{\begin{cases} x = 2^{t} \\ 3 y = 3^{t} \\ 2 x + 2 y = 6^{t} \end{cases} (*)

Do đó ta thu được phương trình

{2. 2}^{t} + \frac{2}{3} {. 3}^{t} = 6^{t} \Leftrightarrow 2 {(\frac{1}{3})}^{t} + \frac{2}{3} {(\frac{1}{2})}^{t} - 1 = 0

.
Đặt

f (t) = 2 {(\frac{1}{3})}^{t} + \frac{2}{3} {(\frac{1}{2})}^{t} - 1, t \in ℝ

.
Vì

f^{'} (t) = - 2. \ln 3. {(\frac{1}{3})}^{t} - \frac{2}{3} . \ln 2. {(\frac{1}{2})}^{t} < 0, \forall t \in ℝ

nên hàm

f (t)

nghịch biến trên

ℝ

.
Mặt khác, ta có

f (1) = 0

nên

t = 1

là nghiệm duy nhất của phương trình

f (t) = 0

.
Với

t = 1

, thay vào

(*)

ta được

x = 2, y = 1

. Do đó

P = \frac{1}{2} + \frac{1}{1} = \frac{3}{2}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi