Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $\sqrt[3]{\frac{m}{2} + \frac{4}{3} \sqrt[3]{\frac{1}{2} m + \frac{4}{3} \sin (x^{2} + 2019)}} = \sin (x^{2} + 2019)$ có nghiệm thực?

3

2

7

6

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Đặt

\sin (x^{2} + 2019) = a

(a \in [- 1; 1])

\Rightarrow \sqrt[3]{\frac{m}{2} + \frac{4}{3} \sqrt[3]{\frac{1}{2} m + \frac{4}{3} a}} = a

Đặt

\sqrt[3]{\frac{1}{2} m + \frac{4}{3} a} = t

\Rightarrow \{\begin{cases} \sqrt[3]{\frac{m}{2} + \frac{4}{3} t} = a \\ \sqrt[3]{\frac{1}{2} m + \frac{4}{3} a} = t \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{m}{2} + \frac{4}{3} t = a^{3} \\ \frac{m}{2} + \frac{4}{3} a = t^{3} \end{cases} \Rightarrow a^{3} + \frac{4}{3} a = t^{3} + \frac{4}{3} t

Xét hàm

f (x) = x^{3} + \frac{4}{3} x

với

x \in ℝ

. Ta có

f' (x) = 3 x^{2} + \frac{4}{3} > 0, \forall x \in ℝ .

\Rightarrow f (x)

đồng biến trên

ℝ

. Từ suy ra

f (a) = f (t) \Leftrightarrow a = t

.
Do đó

\sqrt[3]{\frac{1}{2} m + \frac{4}{3} a} = a \Leftrightarrow m = 2 a^{3} - \frac{8}{3} a = f (a)

với

a \in [- 1; 1]

.
Ta có

f' (a) = 6 a^{2} - \frac{8}{3} = 0 \Leftrightarrow a = \pm \frac{2}{3} \in [- 1; 1]

.
Khi đó:

f (- 1) = \frac{2}{3}; f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{27}; f (\frac{2}{3}) = - \frac{32}{27}; f (1) = - \frac{2}{3} .

Phương trình có nghiệm

\Leftrightarrow \underset{[- 1; 1]}{M i n} f (a) \leq m \leq \underset{[- 1; 1]}{M a x} f (a) \Rightarrow \{\begin{cases} - \frac{32}{27} \leq m \leq \frac{32}{27} \\ m \in ℤ \end{cases}

\Rightarrow m \in \{- 1; 0; 1\}

Vậy đáp án đúng là A.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học