Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình $m {. 16}^{x} - (2 m + 1) {. 12}^{x} + m {. 9}^{x} \leq 0$ đúng với $\forall x \in [0; \log_{\frac{4}{3}} \frac{3}{2}]$ ?

2.

6.

5.

0.

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Ta có

m {. 16}^{x} - (2 m + 1) {. 12}^{x} + m {. 9}^{x} \leq 0

\Leftrightarrow m . {(\frac{4}{3})}^{2 x} - (2 m + 1) {(\frac{4}{3})}^{x} + m \leq 0

(1)

.
Đặt

t = {(\frac{4}{3})}^{x}

, với

x \in [0; \log_{\frac{4}{3}} \frac{3}{2}]

có

t \in [1; \frac{3}{2}]

và bất phương trình

(1)

có dạng:

m . t^{2} - (2 m + 1) t + m \leq 0

(2)

.
Có

t = 1

luôn thỏa mãn

(2)

.
Với

t \in (1; \frac{3}{2}]

, bất phương trình

(2)

\Leftrightarrow m (t^{2} - 2 t + 1) \leq t

\Leftrightarrow m \leq \frac{t}{{(t - 1)}^{2}} (3)

.
Xét

f (t) = \frac{t}{{(t - 1)}^{2}}

\Rightarrow f^{'} (t) = \frac{1 - t^{2}}{{(t - 1)}^{4}} < 0, \forall t \in (1; \frac{3}{2}]

, nên

\underset{(1; \frac{3}{2}]}{M i n} f (t) = f (\frac{3}{2}) = 6

.
Bất phương trình

m {. 16}^{x} - (2 m + 1) {. 12}^{x} + m {. 9}^{x} \leq 0

đúng với

\forall x \in [0; \log_{\frac{4}{3}} \frac{3}{2}]

khi và chỉ khi bất phương trình

(3)

đúng với

\forall t \in (1; \frac{3}{2}]

\Leftrightarrow m \leq \underset{(1; \frac{3}{2}]}{M i n} f (t) \Leftrightarrow m \leq 6

.
Vậy có 6 giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi