Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho tồn tại số thực $y$ thõa mãn $\log_{3}^{} (x + y) = \log_{4}^{} (x^{2} + y^{2})$ ?

A.3.

B.2.

C.1.

D.Vô số

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải:
Chọn B
Điều kiện

x + y > 0; x^{2} + y^{2} \neq 0.

Ta đặt:

\log_{3}^{} (x + y) = \log_{4}^{} (x^{2} + y^{2}) = t

. Ta có

\{\begin{cases} x + y = 3^{t} \\ x^{2} + y^{2} = 4^{t} \end{cases} (1)

Vì

{(x + y)}^{2} \leq 2 (x^{2} + y^{2}) \Rightarrow {(3^{t})}^{2} \leq {2. 4}^{t} \Rightarrow t \leq \log_{\frac{9}{4}}^{} 2

Thế thì

x^{2} + y^{2} = 4^{t} \leq 4^{\log_{\frac{9}{4}}^{} 2} \approx 3, 27

, vì

x

nguyên vậy nên

x^{2} \in \{0; 1\}

.
 Với

x = 0

, ta có hệ

\{\begin{cases} y = 3^{t} \\ y^{2} = 4^{t} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t = 0 \\ y = 1 \end{cases}

 Với

x = 1

, ta có hệ

\{\begin{cases} y = 3^{t} - 1 \\ y^{2} = 4^{t} - 1 \end{cases} .

Hệ này có nghiệm

\{\begin{cases} t = 0 \\ y = 0 \end{cases} .

 Với

x = - 1

, ta có hệ

\{\begin{cases} y = 3^{t} + 1 \\ y^{2} = 4^{t} - 1 \end{cases} .

Ta có phương trình

{(3^{t} + 1)}^{2} = 4^{t} - 1 \Leftrightarrow 9^{t} + {2. 3}^{t} - 4^{t} + 2 = 0 (*)

Đặt

f (t) = 9^{t} + {2. 3}^{t} - 4^{t} + 2

, ta có
Với

t \geq 0 \Rightarrow 9^{t} \geq 4^{t} \Rightarrow f (t) > 0

Với

t < 0 \Rightarrow 4^{t} < 2 \Rightarrow f (t) > 0

Vậy phương trình

(*)

vô nghiệm
Kết luận: Vậy

x \in \{0; 1\}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi