[ĐỀ THAM KHẢO 2018-2019] Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z,$ cho hai điểm $A (2; - 2; 4),$ $B (- 3; 3; - 1)$ và mặt phẳng $(P) : 2 x - y + 2 z - 8 = 0.$ Xét $M$ là điểm thay đổi thuộc $(P),$ giá trị nhỏ nhất của $2 M A^{2} + 3 M B^{2}$ bằng

105.

108.

135.

145.

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải: Lời giải. Gọi

I (a; b; c)

là điểm thỏa mãn

2 \vec{I A} + 3 \vec{I B} = \vec{0},

suy ra

I (- 1; 1; 1) .

Ta có

2 M A^{2} + 3 M B^{2}

= 2 {\vec{M A}}^{2} + 3 {\vec{M B}}^{2}

= 2 {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} + 3 {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2}

= 5 {\vec{M I}}^{2} + 2 \vec{M I} (2 \vec{I A} + 3 \vec{I B}) + 2 {\vec{I A}}^{2} + 3 {\vec{I B}}^{2}

= 5 M I^{2} + 2 I A^{2} + 3 I B^{2} .

Do đó

2 M A^{2} + 3 M B^{2}

nhỏ nhất

\Leftrightarrow

5 M I^{2} + 2 I A^{2} + 3 I B^{2}

nhỏ nhất

\Leftrightarrow

M

là hình chiếu của điểm

I

trên mặt phẳng

(P) .

Dễ dàng tìm được

M (1; 0; 3) .

Khi đó

2 M A^{2} + 3 M B^{2} = 5 M I^{2} + 2 I A^{2} + 3 I B^{2} = 135.

Chọn C

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi