[DS12. C1. 1. D07. c] Cho hàm số $f (x) = x^{3} - (2 m - 1) x^{2} + (2 - m) x + 2$ . Với giá trị nào của tham số $m$ thì $f^{'} (x) > 0$ với mọi $x \geq - 1 ?$

m \in (- \frac{7}{3}; + \infty)

m \in (- \infty; \frac{5}{4})

m \in (- \frac{7}{3}; \frac{5}{4})

m \in (- \frac{7}{3}; - 1) \cup (- 1; \frac{5}{4}) .

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Ta có:

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2 (2 m - 1) x + 2 - m, \forall x \in ℝ

f^{'} (x)

là một tam thức bậc hai có hệ số

a > 0

Nếu

Δ < 0

thì

f^{'} (x) > 0, \forall x \in ℝ \Rightarrow f' (x) > 0, \forall x \geq - 1.

Nếu

Δ \geq 0

và

f^{'} (x) = 0

có hai nghiệm

x_{1}; x_{2}

sao cho

x_{1} < x_{2} < - 1

thì theo định lí dấu tam thức bậc hai ta có

f^{'} (x) > 0, \forall x \geq - 1.

f^{'} (x) > 0, \forall x \geq - 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} △^{'} < 0 \\ \{\begin{cases} △^{'} \geq 0 \\ (x_{1} + 1) (x_{2} + 1) > 0 \\ x_{1} + x_{2} < - 2 \end{cases} \end{array}

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 4 m^{2} - m - 5 < 0 \\ \{\begin{cases} 4 m^{2} - m - 5 \geq 0 \\ 3 m + 7 > 0 \\ 2 m - 1 < - 3 \end{cases} \end{array}

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 1 < m < \frac{5}{4} \\ \{\begin{cases} m \leq - 1 \lor m \geq \frac{5}{4} \\ m > - \frac{7}{3} \\ m < - 1 \end{cases} \end{array}

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 1 < m < \frac{5}{4} \\ - \frac{7}{3} < m < - 1 \end{array}

.
Vậy

m \in (- \frac{7}{3}; - 1) \cup (- 1; \frac{5}{4}) .

Sai lầm của học sinh dùng cách hàm số:

f' (x) > 0, \forall x \geq - 1 \Leftrightarrow 3 x^{2} + 2 x + 2 - m (4 x + 1) > 0, \forall x \geq - 1

\Leftrightarrow m < \frac{3 x^{2} + 2 x + 2}{4 x + 1}, \forall x \geq - 1

\Leftrightarrow m < \underset{[- 1; + \infty)}{\min g (x)}

với

g (x) = \frac{3 x^{2} + 2 x + 2}{4 x + 1}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi