[DS12. C1. 2. D04. c] Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = {|x|}^{3} - (2 m + 1) x^{2} + 3 m |x| - 5$ có ba điểm cực trị.

(1; + \infty)

(- \infty; \frac{1}{4})

(- \infty; 0]

(0; \frac{1}{4}) \cup (1; + \infty)

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Ta xét hàm số

y = x^{3} - (2 m + 1) x^{2} + 3 m x - 5

.
Ta có:

y^{'} = 3 x^{2} - 2 (2 m + 1) x + 3 m

Δ^{'} = {(2 m + 1)}^{2} - 3. 3 m = 4 m^{2} - 5 m + 1

.
Để hàm số

y = {|x|}^{3} - (2 m + 1) x^{2} + 3 m |x| - 5

có 3 điểm cực trị thì hàm số

y = x^{3} - (2 m + 1) x^{2} + 3 m x - 5

phải có hai điểm cực trị trong đó chỉ có 1 cực trị dương.
Hàm số

y = x^{3} - (2 m + 1) x^{2} + 3 m x - 5

có 2 điểm cực trị khi

Δ^{'} > 0 \Leftrightarrow 4 m^{2} - 5 m + 1 > 0 \Leftrightarrow m \in (- \infty; \frac{1}{4}) \cup (1; + \infty)

.
Trong 2 điểm cực trị chỉ có 1 điểm cực trị dương nên ta có 2 trường hợp sau:
TH1: Một điểm cực trị bằng 0 và một điểm cực trị dương.
Thay

x = 0

vào

y^{'} = 0

ta được

3 m = 0 \Leftrightarrow m = 0

.
Thay

m = 0

vào

y^{'} = 0

ta được

y^{'} = 3 x^{2} - 2 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{2}{3} \end{array}

\Rightarrow m = 0

TH2: Một điểm cự trị âm, một điểm cực trị dương.
Hàm số

y = x^{3} - (2 m + 1) x^{2} + 3 m x - 5

có một điểm cự trị âm và một điểm cực trị dương khi và chỉ khi phương trình

y^{'} = 0

có hai nghiệm trái dấu

\Leftrightarrow 3. 3 m < 0 \Leftrightarrow m < 0

Từ và ta suy ra

m \leq 0 \Rightarrow m \in (- \infty; 0]

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi