[DS12. C1. 2. D09. c] Với giá trị nào của $m$ , các điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - (m + 1) x^{2} + \frac{4}{3} {(m + 1)}^{3}$ nằm về 2 phía của đường tròn có phương trình $x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ ?

|m| < \frac{1}{2}

|m| < \frac{1}{3}

|m| < \frac{3}{2}

|m| < 1

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Đường tròn

x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0

có tâm

I (2; 0)

, bán kính

R = \sqrt{2^{2} - 3} = 1

.
Ta có

y^{'} = x^{2} - 2 (m + 1) x

;

y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 (m + 1) \end{array}

.
Hàm số có hai điểm cực trị

\Leftrightarrow 2 (m + 1) \neq 0 \Leftrightarrow m \neq - 1

.
Khi đó, tọa độ hai điểm cực trị là

A (0; \frac{4}{3} {(m + 1)}^{3})

và

B (2 (m + 1); 0)

I A = \sqrt{4 + \frac{16}{9} {(m + 1)}^{6}}

;

I B = |2 (m + 1) - 2| = 2 |m|

.
Ta có:

4 + \frac{16}{9} {(m + 1)}^{6} \geq 4 \Rightarrow \sqrt{4 + \frac{16}{9} {(m + 1)}^{6}} \geq 2 \Rightarrow I A > R = 1

.
Hai điểm cực trị nằm về hai phía của đường tròn thì

I B < R < I A

\Leftrightarrow 2 |m| < 1 < \sqrt{4 + \frac{16}{9} {(m + 1)}^{6}} \Leftrightarrow |m| < \frac{1}{2}

).
Vậy

|m| < \frac{1}{2}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi