[DS12. C2. 4. D10. d] Cho hàm số đa thức bậc bốn $y = f (x)$ , biết hàm số có ba điểm cực trị $x = - 3, x = 3, x = 5$ . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho hàm số $g (x) = f (e^{x^{3} + 3 x^{2}} - m)$ có đúng $7$ điểm cực trị

3

4

5

6

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Ta có

g^{'} (x) = (3 x^{2} + 6 x) e^{x^{3} + 3 x^{2}} . f^{'} (e^{x^{3} + 3 x^{2}} - m)

g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow (3 x^{2} + 6 x) e^{x^{3} + 3 x^{2}} . f^{'} (e^{x^{3} + 3 x^{2}} - m) = 0

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 2 \\ e^{x^{3} + 3 x^{2}} - m = - 3 \\ e^{x^{3} + 3 x^{2}} - m = 3 \\ e^{x^{3} + 3 x^{2}} - m = 5 \end{array}

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 2 \\ e^{x^{3} + 3 x^{2}} = m - 3, (1) \\ e^{x^{3} + 3 x^{2}} = m + 3, (2) \\ e^{x^{3} + 3 x^{2}} = m + 5, (3) \end{array}

.
Hàm số

g (x)

có

7

điểm cực trị khi và chỉ khi tổng số nghiệm đơn và bội lẻ, khác

0

và

- 2

của các phương trình

(1), (2), (3)

là

5

.
Xét hàm số

h (x) = e^{x^{3} + 3 x^{2}}

có

h^{'} (x) = (3 x^{2} + 6 x) e^{x^{3} + 3 x^{2}}

.
Ta có

h^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = - 2 \end{matrix}

.
Bảng biến thiên:

Khi đó có

3

trường hợp sau:
Trường hợp 1:

Khi đó:

\{\begin{matrix} m + 3 \geq e^{4} \\ 1 < m - 3 < e^{4} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m \geq e^{4} - 3 \approx 51, 6 \\ 4 < m < e^{4} + 3 \approx 57, 6 \end{matrix}

m

nguyên nên

m \in \{52; 53; 54; 55; 56; 57\}

.
Trường hợp 2:

Khi đó:

\{\begin{cases} m + 5 \geq e^{4} \\ 1 < m + 3 < e^{4} \\ 0 < m - 3 \leq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > e^{4} - 5 \approx 49, 6 \\ - 2 < m < e^{4} - 3 \\ 3 < m \leq 4 \end{cases} \Leftrightarrow m \in \emptyset

.
Trường hợp 3:

Khi đó:

\{\begin{matrix} 1 < m + 5 < e^{4} \\ m + 3 \leq 1 \\ m - 3 > 0 \end{matrix}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} - 4 < m < e^{4} - 5 \approx 49, 6 \\ m \leq - 2 \\ m > 3 \end{cases} \Leftrightarrow m \in \emptyset

.
Vậy có

6

giá trị nguyên của tham số

m

thỏa yêu cầu bài toán.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi