Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $f (x) = \frac{1}{5} m^{2} x^{5} - \frac{1}{3} m x^{3} - 10 x^{2} - (m^{2} - m - 20) x$ đồng biến trên $ℝ$ . Tích giá trị của tất cả các phần tử thuộc $S$ bằng

- 2

- 5

\frac{3}{2}

\frac{1}{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B
Ta có hàm số

f (x)

đồng biến trên

ℝ

khi và chỉ khi

\begin{array}{l} f^{'} (x) \geq 0, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow m^{2} x^{4} - m x^{2} - 20 x - (m^{2} - m - 20) \geq 0, \forall x \in ℝ \\ \Leftrightarrow (x - 1) [m^{2} x^{3} + m^{2} x^{2} + (m^{2} - m) x + m^{2} - m - 20] \geq 0, \forall x \in ℝ (*) . \end{array}

Xét

g (x) = m^{2} x^{3} + m^{2} x^{2} + (m^{2} - m) x + m^{2} - m - 20

.
Nếu

g (x) = 0

không có nghiệm

x = 1

thì

f^{'} (x)

sẽ đổi dấu khi

x

đi qua

1

, nên muốn

(*)

thỏa thì điều kiện cần là

g (1) = 1 \Leftrightarrow 2 m^{2} - m - 10 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = \frac{5}{2} \\ m = - 2 \end{array}

.
Ta cần kiểm tra xem hai giá trị tìm được có thỏa

(*)

không.
Nếu

m = \frac{5}{2}

thì

g (x) = \frac{25}{4} x^{3} + \frac{25}{4} x^{2} + \frac{15}{4} x - \frac{65}{4} = \frac{5}{4} (x - 1) (5 x^{2} + 10 x + 13)

, thỏa

(*)

.
Nếu

m = - 2

thì

g (x) = 4 x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 14 = (x - 1) (4 x^{2} + 8 x + 14)

, thỏa

(*)

.
Vậy

S = \{\frac{5}{2}; - 2\}

Vậy đáp án đúng là B.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi