[HH12. C3. 2. D06. c] Trong không gian với hệ tọa độ $O x y$ , cho mặt phẳng $(P) : 2 y - z + 3 = 0$ và điểm $A (2; 0; 0)$ . Mặt phẳng $(α)$ đi qua $A$ , vuông góc với $(P)$ , cách gốc tọa độ $O$ một khoảng bằng $\frac{4}{3}$ và cắt các tia $O y$ , $O z$ lần lượt tại các điểm $B$ , $C$ khác $O$ . Thể tích khối tứ diện $O A B C$ bằng

8

10

\frac{8}{3}

\frac{10}{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Giả sử

B (0; b; 0)

và

C (0; 0; c)

, với

b

c > 0

.
Khi đó phương trình mặt phẳng

(α)

là:

\frac{x}{2} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

.
Vì

(α) ⊥ (P)

nên

\frac{2}{b} - \frac{1}{c} = 0

\Leftrightarrow \frac{1}{c} = 2. \frac{1}{b}

.
Mặt khác

d (O, (α)) = \frac{4}{3}

\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{b})}^{2} + {(\frac{1}{c})}^{2}}} = \frac{4}{3}

\Leftrightarrow \frac{5}{b^{2}} = \frac{5}{16}

\Leftrightarrow b^{2} = 16

\Leftrightarrow b = 4 \Rightarrow c = 2

.
Vậy

V_{O . A B C} = \frac{1}{6} . O A . O B . O C = \frac{8}{3}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi