[HH12. C3. 4. D01. c] Cho khối tứ diện $A B C D$ có $B C = 3$ , $C D = 4$ , $\hat{A B C} = \hat{A D C} = \hat{B C D} = 90^{0}$ . Góc giữa đường thẳng $A D$ và $B C$ bằng $60^{0}$ . Côsin góc giữa hai phẳng $(A B C)$ và $(A C D)$ bằng

\frac{\sqrt{43}}{86}

\frac{4 \sqrt{43}}{43}

\frac{2 \sqrt{43}}{43}

\frac{\sqrt{43}}{43}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C

Dựng

A O ⊥ (B C D)

khi đó

O

là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật

B C D O

.
Góc giữa đường thẳng

A D

và

B C

là góc giữa đường thẳng

A D

và

O D

và bằng

\hat{A D O} = 60^{0}

Xét tam giác

A D O

vuông tại

O

\tan 60^{0} = \frac{O A}{O D} \Rightarrow O A = 3 \sqrt{3} .

Gắn hệ tọa độ

O x y z

vào hình chóp như hình vẽ.
Ta có:

O (0; 0; 0)

;

B (4; 0; 0)

;

D (0; 3; 0)

;

C (4; 3; 0)

;

A (0; 0; 3 \sqrt{3})

\vec{A B} = (4; 0; - 3 \sqrt{3})

;

\vec{B C} = (0; 3; 0)

;

\vec{A D} = (0; 3; - 3 \sqrt{3})

;

\vec{C D} = (- 4; 0; 0)

.
Mặt phẳng nhận véctơ

\vec{n_{1}} = [\vec{A B}, \vec{B C}] = (9 \sqrt{3}; 0; 12)

làm véctơ pháp tuyến.
Mặt phẳng

(A D C)

nhận véctơ

\vec{n_{2}} = [\vec{A D}, \vec{C D}] = (0; 12 \sqrt{3}; 12)

làm véctơ pháp tuyến.
Nên

\cos ((A B C); (A D C)) = \frac{|\vec{n_{1}} . \vec{n_{2}}|}{|\vec{n_{1}}| . |\vec{n_{2}}|} = \frac{4}{\sqrt{43} . 2} = \frac{2 \sqrt{43}}{43} \cdot

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi