Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng ba lần bán kính mặt đáy của thùng. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng $\frac{3}{2}$ chiều cao của thùng nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là $54 \sqrt{3} π (d m^{3})$ . Biết rằng khối cầu tiếp xúc với mặt trong của thùng và đúng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước . Thể tích nước còn lại trong thùng có giá trị nào sau đây?

\frac{46}{5} \sqrt{3} π (d m^{3})

18 \sqrt{3} π (d m^{3})

\frac{46}{3} \sqrt{3} π (d m^{3})

18 π (d m^{3})

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Xét một thiết diện qua trục của hình nón như hình vẽ. Hình thang cân

A B C D

(

I J

là trục đối xứng) là thiết diện của cái thùng nước, hình tròn tâm

I

bán kính

I H

là thiết diện của khối cầu. Các đường thẳng

A D

B C

I J

đồng qui tại

E

Đặt bán kính của khối cầu là

I H = R

, bán kính mặt đáy của thùng là

J D = r

, chiều cao của thùng là

I J = h

. Ta có

\frac{2}{3} π R^{3} = 54 \sqrt{3} π \Leftrightarrow R = 3 \sqrt{3}

\frac{3}{2} h = 2 R = 6 \sqrt{3} \Leftrightarrow h = 4 \sqrt{3}

\frac{E J}{E I} = \frac{J C}{I B} = \frac{r}{3 r} = \frac{1}{3} \Rightarrow E J = 2 \sqrt{3}

\frac{1}{I H^{2}} = \frac{1}{I A^{2}} + \frac{1}{I E^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{27} = \frac{1}{9 r^{2}} + \frac{1}{108} \Leftrightarrow r = 2

.
Suy ra thể tích của thùng nước là

V_{1} = \frac{1}{3} π I A^{2} . I E - \frac{1}{3} π J D^{2} . J E = \frac{208 \sqrt{3} π}{3}

.
Vậy thể tích nước còn lại trong thùng là

V = \frac{208 \sqrt{3} π}{3} - 54 \sqrt{3} π = \frac{46 \sqrt{3} π}{3} (d m^{3})

Vậy đáp án đúng là C.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi