[ Mức 3] Cho $x, y$ là số thực dương thỏa mãn $\log_{5} x + \log_{5} (7 y) \geq \log_{5} (x^{2} + 7 y)$ . Giá trị
nhỏ nhất của $P = 4 x + 7 y$ có dạng $a \sqrt{b} + c$ , trong đó $a, b, c$ là số tự nhiên và $a > 1$ . Xác định: $a + b + c$

a + b + c = 13

a + b + c = 12

a + b + c = 11

a + b + c = 10

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Từ

\log_{5} x + \log_{5} (7 y) \geq \log_{5} (x^{2} + 7 y) \Leftrightarrow 7 x y \geq x^{2} + 7 y

.
Nhận xét: Nếu

0 < x \leq 1

thì

7 y \geq 7 x y \geq x^{2} + 7 y

\Leftrightarrow 0 \geq x^{2}

(vô lý)
Xét

x > 1

thì

7 x y \geq x^{2} + 7 y

\Leftrightarrow 7 y (x - 1) \geq x^{2}

\Leftrightarrow 7 y \geq \frac{x^{2}}{x - 1}

.
Vậy

P = 4 x + 7 y \geq 4 x + \frac{x^{2}}{x - 1}

.
Xét:

f (x) = 4 x + \frac{x^{2}}{x - 1}

trên

(1; + \infty)

.
Có

f^{'} (x) = 4 + \frac{2 x (x - 1) - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{5 x^{2} - 10 x + 4}{{(x - 1)}^{2}}

Xét

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 5 x^{2} - 10 x + 4 = 0

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{5 - \sqrt{5}}{5} (loai) \\ x = \frac{5 + \sqrt{5}}{5} (nhan) \end{array}

.
Vậy

\min_{(1; + \infty)} f (x) = f (\frac{5 + \sqrt{5}}{5}) = 2 \sqrt{5} + 6

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học