[ Mức 4] Cho hàm số $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + m$ ( $m$ là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho $max_{[0; 2]} {[f (x)]}^{2} + min_{[0; 2]} {[f (x)]}^{2} = 2020$ . Số tập con của S là:

2

4

8

16

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Ta có:

f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 9 > 0 \forall x \in ℝ

nên

f (x)

đồng biến trên đoạn

[0; 2]

.
Ta có

f (0) = m; f (2) = 14 + m

Trường hợp 1:

m . (14 + m) < 0 \Leftrightarrow - 14 < m < 0

. Khi đó:

\{\begin{cases} \min_{[0; 2]} {[f (x)]}^{2} = 0 \\ \max_{[0; 2]} {[f (x)]}^{2} = \max \{m^{2}; {(14 + m)}^{2}\} < 14^{2} = 196 \end{cases}

Suy ra không thỏa mãn điều kiện

max_{[0; 2]} {[f (x)]}^{2} + min_{[0; 2]} {[f (x)]}^{2} = 2020

Trường hợp 2:

m . (14 + m) \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \geq 0 \\ m \leq - 14 \end{array} (*)

Suy ra

max_{[0; 2]} {[f (x)]}^{2} + min_{[0; 2]} {[f (x)]}^{2} = m^{2} + {(14 + m)}^{2} = 2 m^{2} + 28 m + 196

.
Khi đó:

max_{[0; 2]} {[f (x)]}^{2} + min_{[0; 2]} {[f (x)]}^{2} = 2020 \Leftrightarrow 2 m^{2} + 28 m + 196 = 2020 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 24 \\ m = - 38 \end{array}

Cả hai giá trị trên đều thỏa mãn

(*)

. Nên

S = \{24; - 38\}

có hai phần tử.
Vậy số tập con của

S

là:

2^{2} = 4

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi