[Mức độ 3] Cho hàm số $f (x) = \frac{x - m^{2} + m}{x + 1}$ . Gọi $S$ là tập hợp chứa tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $g (x) = |f (x)|$ trên đoạn $[1; 2]$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng các phần tử của tập hợp $S$ .

\frac{1}{4}

B.1.

C.0.

- \frac{1}{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Tập xác định:

D = ℝ \ \{1\}

.
Do

f^{'} (x) = \frac{m^{2} - m + 1}{{(x + 1)}^{2}} > 0

\forall m \in ℝ, \forall x \in [1; 2]

nên hàm số

f (x)

luôn đồng biến trên

[1; 2]

.
Ta có

f (1) = \frac{- m^{2} + m + 1}{2}

f (2) = \frac{- m^{2} + m + 2}{3}

.
Cách 1:

\max_{[1; 2]} g (x) = \max_{[1; 2]} |f (x)| = \frac{|- 5 m {}^{2}+ 5 m + 7| + |m {}^{2}- m + 1|}{12}

= \{\begin{cases} \frac{- m^{2} + m + 2}{3} khi \frac{5 - \sqrt{165}}{10} \leq m \leq \frac{5 + \sqrt{165}}{10} \\ \frac{m^{2} - m - 1}{2} khi m < \frac{5 - \sqrt{165}}{10} \lor m > \frac{5 + \sqrt{165}}{10} \end{cases}

.
Đặt

f (m) = \{\begin{cases} \frac{- m^{2} + m + 2}{3} khi \frac{5 - \sqrt{165}}{10} \leq m \leq \frac{5 + \sqrt{165}}{10} \\ \frac{m^{2} - m - 1}{2} khi m < \frac{5 - \sqrt{165}}{10} \lor m > \frac{5 + \sqrt{165}}{10} \end{cases}

f^{'} (m) = \{\begin{cases} \frac{- 2 m + 1}{3} khi \frac{5 - \sqrt{165}}{10} \leq m \leq \frac{5 + \sqrt{165}}{10} \\ \frac{2 m - 1}{2} khi m < \frac{5 - \sqrt{165}}{10} \lor m > \frac{5 + \sqrt{165}}{10} \end{cases}

.
Cho

f^{'} (m) = 0 \Rightarrow m = \frac{1}{2} \in (\frac{5 - \sqrt{165}}{10}; \frac{5 + \sqrt{165}}{10})

.
Bảng biến thiên

Suy ra giá trị nhỏ nhất của

\max_{[1; 2]} |f (x)|

bằng

\frac{1}{5}

khi

m = \frac{5 - \sqrt{165}}{10} \lor m = \frac{5 + \sqrt{165}}{10}

.
Vậy tổng các giá trị của

m

thỏa là:

\frac{5 - \sqrt{165}}{10} + \frac{5 + \sqrt{165}}{10} = 1

.
Cách 2:
Ta có:

\max_{[1; 2]} g (x) = \max_{[1; 2]} |f (x)| = \max \{\frac{|- m^{2} + m + 1|}{2}; \frac{|- m^{2} + m + 2|}{3}\} = M

Vì

\{\begin{cases} M \geq \frac{|- m^{2} + m + 1|}{2} \\ M \geq \frac{|m^{2} - m - 2|}{3} \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 M \geq |- m^{2} + m + 1| \\ 3 M \geq |m^{2} - m - 2| \end{cases}

\Leftrightarrow 5 M \geq |- m^{2} + m + 1| + |m^{2} - m - 2|

\Leftrightarrow 5 M \geq |- m^{2} + m + 1 + m^{2} - m - 2| = 1

.
Do đó

\min M = \frac{1}{5}

khi

m = \frac{5 - \sqrt{165}}{10} \lor m = \frac{5 + \sqrt{165}}{10}

.
Vậy tổng các giá trị của

m

thỏa là:

\frac{5 - \sqrt{165}}{10} + \frac{5 + \sqrt{165}}{10} = 1

.
Cách 3:
Ta có:

g (m) = \max_{[1; 2]} g (x) = \max_{[1; 2]} |f (x)| = \max \{\frac{|- m^{2} + m + 1|}{2}; \frac{|- m^{2} + m + 2|}{3}\}

Đồ thị hàm số

g (m)

là phần được tô đậm.
Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số

g (m)

thấp nhất tại 2 điểm

A

và

B

có hoành độ thỏa:

\frac{m^{2} - m - 1}{2} = \frac{- m^{2} + m + 2}{3}

\Leftrightarrow 5 m^{2} - 5 m - 7 = 0

.
Khi đó với

m_{1}, m_{2}

là nghiệm của phương trình trên ta có

m_{1} + m_{2} = 1

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi