[Mức độ 3] Cho phương trình $3^{2 x} + (8 - m) {. 4}^{x} = 6 m {. 6}^{x - 1}$ ( $m$ là tham số thực). Tập hợp tất cả các giá trị của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng $(0; 2)$ là

(4; \frac{209}{52})

(4; \frac{209}{52}]

(4; \frac{9}{2})

[4; \frac{9}{2}]

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Ta có:

3^{2 x} + (8 - m) {. 4}^{x} = 6 m {. 6}^{x - 1} \Leftrightarrow 9^{x} + (8 - m) {. 4}^{x} = m {. 6}^{x} \Leftrightarrow {(\frac{3}{2})}^{2 x} - m . {(\frac{3}{2})}^{x} + 8 - m = 0

.
Đặt

t = {(\frac{3}{2})}^{x}, t > 0

. Với

x \in (0; 2)

thì

t \in (1; \frac{9}{4})

.
Ta có phương trình:

t^{2} - m t + 8 - m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{t^{2} + 8}{t + 1} (*)

(do

t + 1 > 0, \forall t \in (1; \frac{9}{4})

).
Xét hàm số

f (t) = \frac{t^{2} + 8}{t + 1}

với

t \in (1; \frac{9}{4})

, ta có:

f^{'} (t) = \frac{t^{2} + 2 t - 8}{t + 1}

f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow \frac{t^{2} + 2 t - 8}{t + 1} = 0 \Leftrightarrow t^{2} + 2 t - 8 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 2 \in (1; \frac{9}{4}) \\ t = - 4 \notin (1; \frac{9}{4}) \end{array}

.
Bảng biến thiên:

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng

(0; 2)

\Leftrightarrow

Phương trình

(*)

có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng

(1; \frac{9}{4})

\Leftrightarrow

4 < m < \frac{209}{52}

.
Vậy tập hợp tất cả các giá trị của

m

cần tìm là

(4; \frac{209}{52})

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi