[ Mức độ 3] Có tất cả bao nhiêu cặp các số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn $\frac{\log_{2} (x^{2} - 2 x + y^{2}) + 1}{\log_{2} (x^{2} + y^{2} - 1)} < 1$ ?

2

5

6

4

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
- Xét trường hợp

\log_{2} (x^{2} + y^{2} - 1) < 0 \Leftrightarrow 0 < x^{2} + y^{2} - 1 < 1

\Leftrightarrow 1 < x^{2} + y^{2} < 2 (1)

x

và

y

là các số nguyên nên không tồn tại

(x; y)

thỏa mãn

(1)

- Xét trường hợp

\log_{2} (x^{2} + y^{2} - 1) > 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} > 2 (*)

Khi đó bất phương trình

\frac{\log_{2} (x^{2} - 2 x + y^{2}) + 1}{\log_{2} (x^{2} + y^{2} - 1)} < 1

\Leftrightarrow \log_{2} 2 (x^{2} - 2 x + y^{2}) < \log_{2} (x^{2} + y^{2} - 1)

\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x^{2} - 4 x + 2 y^{2} < x^{2} + y^{2} - 1 \\ x^{2} - 2 x + y^{2} > 0 \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} {(x - 2)}^{2} + y^{2} < 3 (2) \\ {(x - 1)}^{2} + y^{2} > 1 (* *) \end{cases}

Từ

(2)

suy ra

\{\begin{cases} {(x - 2)}^{2} < 3 \\ y^{2} < 3 \end{cases}

x, y

nguyên nên

\{\begin{cases} x \in \{1; 2; 3\} \\ y \in \{- 1; 0; 1\} \end{cases}

Ta có bảng sau:

Vậy có tất cả

5

cặp

(x; y)

thỏa mãn bài toán.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi