[ Mức độ 4] Cho $x, y$ là các số thực dương thỏa mãn $1 - \frac{1}{2} \log_{2} (x - y + 2) = \log_{2} (\frac{x + 1}{y} + 1)$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{x (1 + y) + 17}{y}$ .

9

5

6

8

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Điều kiện:

x - y + 2 > 0

.
Ta có:

\begin{array}{l} 1 - \frac{1}{2} \log_{2} (x - y + 2) = \log_{2} (\frac{x + 1}{y} + 1) \\ \Leftrightarrow \log_{2} (\frac{2}{\sqrt{x - y + 2}}) = \log_{2} (\frac{x + 1 + y}{y}) \\ \Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{x - y + 2}} = \frac{x + y + 1}{y} \\ \Leftrightarrow 2 y = (x + y + 1) \sqrt{x - y + 2} \\ \Leftrightarrow (x - y + 1) \sqrt{x - y + 2} + 2 y \sqrt{x - y + 2} - 2 y = 0 \\ \Leftrightarrow (x - y + 1) \sqrt{x - y + 2} + 2 y (\sqrt{x - y + 2} - 1) = 0 \\ \Leftrightarrow (\sqrt{x - y + 2} - 1) (\sqrt{x - y + 2} + 1) \sqrt{x - y + 2} + 2 y (\sqrt{x - y + 2} - 1) = 0 \\ \Leftrightarrow (\sqrt{x - y + 2} - 1) [(\sqrt{x - y + 2} + 1) \sqrt{x - y + 2} + 2 y] = 0 (*) \end{array}

Mặt khác

x, y

là các số thực dương và điều kiện

x - y + 2 > 0

nên

(\sqrt{x - y + 2} + 1) \sqrt{x - y + 2} + 2 y > 0

Do đó

(*)

xảy ra

\Leftrightarrow \sqrt{x - y + 2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x - y + 1 = 0 \Leftrightarrow x = y - 1

.
Với

x = y - 1

thay vào biểu thức

P

ta được:

P = \frac{x (1 + y) + 17}{y} = \frac{(y - 1) (y + 1) + 17}{y} = \frac{y^{2} + 16}{y} = y + \frac{16}{y}

.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương

(y, \frac{16}{y})

ta được:

P = y + \frac{16}{y} \geq 2. \sqrt{y . \frac{16}{y}} = 8

.
Dấu bằng xảy ra khi

y = \frac{16}{y} \Leftrightarrow y^{2} = 16 \Leftrightarrow y = 4 (d o y > 0)

Vậy GTNN của

P

là 8 khi

(x, y) = (3, 4)

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học