Người ta cần trồng một vườn hoa Cẩm Tú Cầu theo hình giới hạn bởi một đường Parabol và nửa đường tròn có bán kính $\sqrt{2}$ mét . Biết rằng: để trồng mỗi $m^{2}$ hoa cần ít nhất là $250000$ đồng, số tiền tối thiểu để trồng xong vườn hoa Cẩm Tú Cầu gần bằng

893000

đồng.

476000

đồng.

809000

đồng.

559000

đồng.

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:

Lời giải
Chọn C
Nửa đường tròn

(T)

có phương trình

y = \sqrt{2 - x^{2}}

.
Xét parabol

(P)

có trục đối xứng

O y

nên có phương trình dạng:

y = a x^{2} + c

(P)

cắt

O y

tại điểm

(0; - 1)

nên ta có:

c = - 1

(P)

cắt

(T)

tại điểm

(1; 1)

thuộc

(T)

nên ta được:

a + c = 1 \Rightarrow a = 2

.
Phương trình của

(P)

là:

y = 2 x^{2} - 1

.
Diện tích miền phẳng

D

là:

S = \int_{- 1}^{1} (\sqrt{2 - x^{2}} - 2 x^{2} + 1) d x = \int_{- 1}^{1} \sqrt{2 - x^{2}} d x + \int_{- 1}^{1} (- 2 x^{2} + 1) d x

I_{1} = \int_{- 1}^{1} (- 2 x^{2} + 1) d x = {(- \frac{2}{3} x^{3} + x)|}_{- 1}^{1} = \frac{2}{3}

.
Xét

I_{2} = \int_{- 1}^{1} \sqrt{2 - x^{2}} d x

, đặt

x = \sqrt{2} \sin t, t \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

thì

d x = \sqrt{2} cost d t

Đổi cận:

x = - 1

thì

t = - \frac{π}{4}

, với

x = 1

thì

t = \frac{π}{4}

, ta được:

\begin{array}{l} I_{2} = \int_{- π / 4}^{π / 4} \sqrt{2 - 2 \sin^{2} t} \sqrt{2} \cos t d t = \int_{- π / 4}^{π / 4} 2 \cos^{2} t d t \\ = \int_{- π / 4}^{π / 4} (1 + \cos 2 t) d t = {(t + \frac{1}{2} \sin 2 t)|}_{- π / 4}^{π / 4} = 1 + \frac{π}{2} \end{array}

Suy ra

S = I_{1} + I_{2} = \frac{5}{3} + \frac{π}{2} (m^{2})

.
Số tiền trồng hoa tối thiểu là:

250000 (\frac{5}{3} + \frac{π}{2}) \approx 809365

đồng.

Vậy đáp án đúng là C.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi