Nhà trường dự định làm một vườn hoa dạng hình elip được chia ra làm bốn phần bởi hai đường parabol có chung đỉnh, đối xứng với nhau qua trục của elip như hình vẽ. Biết độ dài trục lớn, trục nhỏ của elip lần lượt là $8 m$ và $4 m$ , $F_{1}$ , $F_{2}$ lần lượt là hai tiêu điểm của elip. Phần $A$ , $B$ dùng để trồng hoa, phần $C$ , $D$ dùng để trồng cỏ. Kinh phí để trồng mỗi mét vuông hoa và cỏ lần lượt là $250. 000$ đ và $150. 000$ đ. Tính tổng số tiền để hoàn thành vườn hoa trên .

5. 676. 000

đ.

4. 656. 000

đ.

4. 766. 000

đ.

5. 455. 000

đ.

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Gọi

S_{A}

S_{B}

S_{C}

S_{D}

lần lượt là diện tích các phần

A

B

C

và

D

. Theo giả thiết ta được

S_{A} = S_{B}

S_{C} = S_{D}

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ. Khi đó elip

(E)

có dạng

(E) : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, (0 < b < a)

.
Theo bài

2 a = 8 \Leftrightarrow a = 4

;

2 b = 4 \Leftrightarrow b = 2

suy ra phương trình của elip là

(E) : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1

c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = 2 \sqrt{3}

suy ra

F_{2} (2 \sqrt{3}; 0)

.
Gọi

(P)

là parabol nằm ở phần phía trên của trục

O x

, cắt

(E)

tại điểm

M

với hoành độ

x_{M} = 2 \sqrt{3}

khi đó

M \in (E) \Rightarrow M (2 \sqrt{3}; 1)

.
Theo giả thiết, parabol

(P)

có dạng

y = m . x^{2}

. Do

M \in (P) \Rightarrow 1 = 12. m \Leftrightarrow m = \frac{1}{12}

.
Từ ta được

\frac{y^{2}}{4} = 1 - \frac{x^{2}}{16} \Leftrightarrow y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{16 - x^{2}}

.
Diện tích của phần

A

là

S_{A} = \int_{- 2 \sqrt{3}}^{2 \sqrt{3}} (\frac{1}{2} \sqrt{16 - x^{2}} - \frac{1}{12} x^{2}) d x = \int_{- 2 \sqrt{3}}^{2 \sqrt{3}} \frac{1}{2} \sqrt{16 - x^{2}} d x - \frac{1}{12} \int_{- 2 \sqrt{3}}^{2 \sqrt{3}} x^{2} d x

hay

S_{A} = I_{1} - \frac{1}{36} {x^{3}|}_{- 2 \sqrt{3}}^{2 \sqrt{3}} = I_{1} - \frac{4 \sqrt{3}}{3}

.
Với

I_{1} = \frac{1}{2} \int_{- 2 \sqrt{3}}^{2 \sqrt{3}} \sqrt{16 - x^{2}} d x

. Đặt

x = 4 \sin t \Rightarrow d x = 4 \cos t d t

với

t \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

.
Đổi cận: Khi

x = - 2 \sqrt{3}

ta được

t = - \frac{π}{3}

; khi

x = 2 \sqrt{3}

ta được

t = \frac{π}{3}

.
Theo công thức đổi biến số, thì:

I_{1} = \frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sqrt{16 - 16 \sin^{2} x} . 4 \cos t d t = 8 \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} t d t

Hay

I_{1} = 4 \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} (1 + \cos 2 t) d t = 4 {(t + \frac{1}{2} \sin 2 t)|}_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} = 8 (\frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4})

.
Từ đó tìm được

S_{A} = \frac{8 π + 2 \sqrt{3}}{3}

.
Diện tích của

(E)

là

S_{(E)} = π a b = 8 π

.
Diện tích của phần

C

là

S_{C} = S_{D} = \frac{S_{(E)} - 2 S_{A}}{2} = \frac{4 π - 2 \sqrt{3}}{3}

.
Số tiền cần sử dụng để hoàn thành khu vườn trên là:

(2. S_{A}) \times 250 000 + (2. S_{C}) \times 150 000 \approx 5 676 367, 372

Vậy đáp án đúng là A.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Bài tập trắc nghiệm 15 phút Bài toán thực tế sử dụng diện tích hình phẳng. - Toán Học 12 - Đề số 2

Làm bài

Câu hỏi Toán học

Bài tập trắc nghiệm 15 phút Bài toán thực tế sử dụng diện tích hình phẳng. - Toán Học 12 - Đề số 2

Chia sẻ

Một số câu hỏi khác cùng bài thi.

Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.