Lời giải:Điều kiện của phương trình \(mx-\sqrt{x-3}=m+1 \left( 1 \right)\) là \(x\ge 3\) hay \(x\in \left[ 3;\,+\infty \right)\)
Với điều kiện đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow m\left( x-1 \right)=\sqrt{x-3}+1 \Leftrightarrow m=\frac{\sqrt{x-3}+1}{x-1}\)
Xét hàm số \(y=f\left( x \right)=\frac{\sqrt{x-3}+1}{x-1}\) với \(D=\left[ 3;\,+\infty \right)\).
Trên \(D=\left[ 3;+\infty \right)\), ta có \({f}'\left( x \right)=\frac{5-x-2\sqrt{x-3}}{2\sqrt{x-3}{{\left( x-1 \right)}^{2}}}, {f}'\left( x \right)=0 \Leftrightarrow 2\sqrt{x-3}=5-x\Rightarrow 4\left( x-3 \right)={{\left( 5-x \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-14x+37=0\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=7-2\sqrt{3} \\ & x=7+2\sqrt{3} \\ \end{align} \right.\). Chỉ có giá trị \(x=7-2\sqrt{3}\) thỏa.
.PNG)
Dựa vào đồ thị ta thấy với \(\frac{1}{2}\le m<\frac{1+\sqrt{3}}{4}\) thì đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)=\frac{\sqrt{x-3}+1}{x-1}\) tại hai điểm phân biệt.
Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\frac{1}{2}\le m<\frac{1+\sqrt{3}}{4}\).
