Thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều nội tiếp một mặt cầu bán kính $R$ là

V_{m ax} = \frac{64}{81} \cdot R^{3}

V_{m ax} = \frac{48}{64} \cdot R^{3}

V_{m ax} = \frac{27}{16} \cdot R^{3}

V_{m ax} = \frac{16}{27} \cdot R^{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Giả sử

S . A B C D

là hình chóp đều nội tiếp mặt cầu bán kính

R

.
Gọi

H

là giao điểm của hai đường chéo

A C

và

B D

. Khi đó

S H ⊥ (A B C D)

Gọi

I

là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S . A B C D

và

M

là trung điểm

S A

.
Ta có:

I

thuộc

S H

và

Δ S M I \sim Δ S H A

nên

R = S I = \frac{S A^{2}}{2. S H} \Rightarrow S A^{2} = 2. R . S H

.
Xét tam giác vuông

S A H

ta có:

S A^{2} = S H^{2} + A H^{2} = S H^{2} + \frac{A B^{2}}{2}

.
Nên

2. R . S H = S H^{2} + \frac{A B^{2}}{2} \Leftrightarrow A B^{2} = 4. R . S H - 2. S H^{2}

.
Mặt khác:

V = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C D} \cdot S H = \frac{1}{3} \cdot (4. R . S H - 2. S H^{2}) . S H

= \frac{4}{3} . R . S H^{2} - \frac{2}{3} . S H^{3}

= \frac{1}{3} \cdot S H \cdot S H (4 R - 2 S H)

.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta được:

V \leq \frac{1}{3} {(\frac{S H + S H + 4 R - 2 S H}{3})}^{3} = \frac{64 R^{3}}{81}

.
Đẳng thức xảy ra khi

S H = 4 R - 2 S H \Leftrightarrow S H = \frac{4 R}{3}

. Vậy

V_{m ax} = \frac{64}{81} \cdot R^{3}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi