(THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có tâm $O .$ Gọi $I$ là tâm của hình vuông $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ và $M$ là điểm thuộc đoạn thẳng $O I$ sao cho $M O = \frac{1}{2} M I$ (tham khảo hình vẽ). Khi đó cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng $(M C^{'} D^{'})$ và $(M A B)$ bằng

$\frac{6 \sqrt{13}}{65} .$

$\frac{7 \sqrt{85}}{85} .$

$\frac{6 \sqrt{85}}{85} .$

$\frac{17 \sqrt{13}}{65}$ .

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:

Lời giải

Không mất tính tổng quát ta đặt cạnh của khối lập phương là 1.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho $A^{'} (0; 0; 0),$ $B^{'} (1; 0; 0),$ $D^{'} (0; 1; 0)$ và $A (0; 0; 1)$ (như hình vẽ).
Khi đó ta có: $M (\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}) .$
Suy ra: $\vec{A B} = (1; 0; 0), \vec{M A} = (\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; - \frac{2}{3}) \Rightarrow$ $[\vec{A B}, \vec{M A}] = (0; - \frac{2}{3}; \frac{1}{2}) \Rightarrow {\vec{n}}_{1} = (0; - 4; 3)$ là VTPT của mặt phẳng $(M A B) .$
$\vec{D^{'} C^{'}} = (1; 0; 0), \vec{M D^{'}} = (\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}; \frac{1}{3}) \Rightarrow [\vec{D^{'} C^{'}}, \vec{M D^{'}}] = (0; \frac{1}{3}; - \frac{1}{2}) \Rightarrow {\vec{n}}_{2} = (0; 2; - 3)$ là VTPT của mặt phẳng $(M C^{'} D^{'})$ .
cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(M A B)$ và $(M C^{'} D^{'})$ bằng:
$\cos ({\vec{n}}_{1}, {\vec{n}}_{2}) = \frac{|{\vec{n}}_{1} . {\vec{n}}_{2}|}{|{\vec{n}}_{1}| . |{\vec{n}}_{2}|} = \frac{|0. 0 - 4. 2 + 3. (- 3)|}{\sqrt{0^{2} + {(- 4)}^{2} + 3^{2}} . \sqrt{0^{2} + 2^{2} + {(- 3)}^{2}}} = \frac{17 \sqrt{13}}{65} .$

Bạn có muốn?

Xem thêm các đề thi trắc nghiệm khác

Xem thêm

Câu hỏi

Xem thêm các đề thi trắc nghiệm khác

Chia sẻ

Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.